À l'âge de dix-huit ans, il part pour Londres perfectionner ses études de piano avec Myra Hess. En 1961 il donne en récital, au Wigmore Hall de Londres, la Sonate de Berg, trois Préludes et Fugues de Bach et les Variations Diabelli de Beethoven : c'est un grand succès. Sa carrière débute alors vraiment.
Il est réputé comme soliste et concertiste des œuvres du répertoire classique et romantique : Mozart, Beethoven, Franz Schubert, Johannes Brahms, Schumann, Grieg mais aussi Béla Bartók.
Des compositeurs contemporains comme Richard Rodney Bennett, John Tavener ou Michael Tippett lui ont aussi dédié des concertos, ainsi que Stephen Montague pour son « Southern Lament » au Cheltenham International Music Festival, aux BBC Proms et au Royal Festival Hall de Londres.
Après une importante collaboration discographique avec Sir Colin Davis et le London Symphony Orchestra (Philips) où ils interprètent l'ensemble des concertos de piano de Mozart, Beethoven et Bartok, Stephen Kovacevich a enregistré chez EMI les Concertos de Brahms avec le London Philharmonic et Wolfgang Sawallisch (récompensé par un Gramophone Award et un Diapason d'Or), puis en 2003 l'intégrale des 32 sonates pour piano de Beethoven (« Choc » du Monde de la Musique et Diapason d'Or).
Son récent enregistrement des Valses de Chopin et de Ravel (2006) a obtenu un "Choc" du Monde de la Musique.
Parallèlement à sa carrière de soliste et de fin chambriste (avec des partenaires comme Jacqueline du Pré dans le passé, Martha Argerich ou Gautier Capuçon et Renaud Capuçon, Emmanuel Pahud, Lynn Harrell, Truls Mørk, Sarah Chang), il agit également comme chef d'orchestre depuis 1984.
Il a dirigé notamment le Chamber Orchestra of Europe. Il collabore régulièrement avec les London Mozart Players, le City of Birmingham Symphony, le Royal Liverpool Philharmonic, l'Orchestre symphonique de Sydney, les Orchestres de Copenhague et de Lisbonne et le Los Angeles Philharmonic. Il a été chef principal invité de l'Australian Chamber Orchestra.
Stephen Kovacevich a été le troisième compagnon de Martha Argerich, de qui il a une fille, Stéphanie. Cette dernière a réalisé un film documentaire sur ses parents, Bloody Daughter, sorti en 2012 à l'occasion du Festival International de Film de Rome.
Il est l'auteur d'une anthologie des œuvres pour piano de Schubert.
